## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の通りです。

(8) 数列 $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ について、初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

(9) $1 \cdot (1+1) + 2 \cdot (2+2) + 3 \cdot (3+3) + \dots + n \cdot (n+n)$ の和を求めよ。

(10) 数列 $3, 6, 11, 18, 27, \dots$ の一般項 $a_n$ を求めよ。

(11) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^3 + 2$ で表される数列 $a_n$ の一般項を求めよ。

(12) 次の条件で定められる数列 $a_n$ の一般項を求めよ。

(1) $a_1 = 0, \quad a_{n+1} = a_n + 5$

(2) $a_1 = 2, \quad a_{n+1} = -3a_n$

(3) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} - a_n = 4^n$

(4) $a_1 = 1, \quad a_{n+1} = a_n + 3n - 1$

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2. 解き方の手順

**問題(8)**

数列の第 $n$ 項は、初項から $2n$ までの偶数の和であるから、

$a_n = \sum_{k=1}^n 2k = 2 \sum_{k=1}^n k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

したがって、初項から第 $n$ 項までの和は、

$S_n = \sum_{k=1}^n k(k+1) = \sum_{k=1}^n (k^2 + k) = \sum_{k=1}^n k^2 + \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

**問題(9)**

$S_n = \sum_{k=1}^n k(k+k) = \sum_{k=1}^n 2k^2 = 2 \sum_{k=1}^n k^2 = 2 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

**問題(10)**

数列の階差数列を考えると、 $3, 5, 7, 9, \dots$ となるので、これは初項3、公差2の等差数列である。

よって、階差数列の第 $n$ 項は $3 + (n-1) \cdot 2 = 2n + 1$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1) = 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 3 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 3 + n^2 - n + n - 1 = n^2 + 2$

$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 + 2 = 3$ なので、$a_n = n^2 + 2$ は $n=1$ でも成り立つ。

**問題(11)**

$S_n = n^3 + 2$

$a_1 = S_1 = 1^3 + 2 = 3$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^3 + 2) - ((n-1)^3 + 2) = n^3 - (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) = 3n^2 - 3n + 1$

$n=1$ のとき $3(1)^2 - 3(1) + 1 = 1 \ne 3$ なので、

$a_1 = 3$

$a_n = 3n^2 - 3n + 1 \quad (n \ge 2)$

**問題(12)-(1)**

$a_{n+1} = a_n + 5$ より、公差5の等差数列。

$a_1 = 0$ なので、$a_n = a_1 + (n-1)d = 0 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 5$

**問題(12)-(2)**

$a_{n+1} = -3a_n$ より、公比-3の等比数列。

$a_1 = 2$ なので、$a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

**問題(12)-(3)**

$a_{n+1} - a_n = 4^n$ より、

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = 1$ なので、$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$ は $n=1$ でも成り立つ。

**問題(12)-(4)**

$a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ より、

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1) = 1 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1 = 2 + \frac{3n^2 - 5n}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$

$n=1$ のとき $a_1 = \frac{3(1)^2 - 5(1) + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ なので、$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$ は $n=1$ でも成り立つ。

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3. 最終的な答え

(8) $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

(9) $\frac{n(n+1)(2n+1)}{3}$

(10) $a_n = n^2 + 2$

(11) $a_1 = 3, \quad a_n = 3n^2 - 3n + 1 \quad (n \ge 2)$

(12)

(1) $a_n = 5n - 5$

(2) $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

(3) $a_n = \frac{4^n - 1}{3}$

(4) $a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$