ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸方向に$-1$, $y$軸方向に$-3$だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ になった。元の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $y = x^2 - 2x + 2$ を$x$軸に関して対称移動する。対称移動後の放物線の方程式は、$y$を$-y$に置き換えることで得られる。

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

次に、$y = -x^2 + 2x - 2$ を、$x$軸方向に$1$, $y$軸方向に$3$だけ平行移動する。平行移動後の放物線の方程式は、$x$を$(x-1)$に、$y$を$(y-3)$に置き換えることで得られる。

$y - 3 = -(x-1)^2 + 2(x-1) - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 2x - 2 - 2 + 3$

$y = -x^2 + 2x - 1 + 2x - 1$

$y = -x^2 + 4x - 2$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 4x - 2$