次の4つの不等式を解く問題です。 (1) $3^{3-x} > 9^x$ (2) $(\frac{1}{27})^x \ge (\frac{1}{3})^{x+1}$ (3) $(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^x < 1$ (4) $\sqrt[3]{4} < 2^{x-3} < \sqrt[5]{64}$

1. 問題の内容

次の4つの不等式を解く問題です。

(1) $3^{3-x} > 9^x$

(2) $(\frac{1}{27})^x \ge (\frac{1}{3})^{x+1}$

(3) $(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^x < 1$

(4) $\sqrt[3]{4} < 2^{x-3} < \sqrt[5]{64}$

2. 解き方の手順

(1)

$3^{3-x} > 9^x$ を解きます。

$9 = 3^2$ なので、$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ となります。

よって、不等式は $3^{3-x} > 3^{2x}$ となります。

底が3で1より大きいので、指数の大小関係がそのまま不等号の向きになります。

$3-x > 2x$

$3 > 3x$

$1 > x$

したがって、$x < 1$

(2)

$(\frac{1}{27})^x \ge (\frac{1}{3})^{x+1}$ を解きます。

$\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ なので、$(\frac{1}{27})^x = ((\frac{1}{3})^3)^x = (\frac{1}{3})^{3x}$ となります。

よって、不等式は $(\frac{1}{3})^{3x} \ge (\frac{1}{3})^{x+1}$ となります。

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、指数の大小関係が逆転します。

$3x \le x+1$

$2x \le 1$

$x \le \frac{1}{2}$

(3)

$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^x < 1$ を解きます。

$(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^x$ より、$2 > x$、すなわち $x < 2$

$(\frac{1}{3})^x < 1 = (\frac{1}{3})^0$ より、$x > 0$

したがって、$0 < x < 2$

(4)

$\sqrt[3]{4} < 2^{x-3} < \sqrt[5]{64}$ を解きます。

$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$

よって、$2^{\frac{2}{3}} < 2^{x-3} < 2^{\frac{6}{5}}$ となります。

底が2で1より大きいので、指数の大小関係がそのまま不等号の向きになります。

$\frac{2}{3} < x-3 < \frac{6}{5}$

$\frac{2}{3} + 3 < x < \frac{6}{5} + 3$

$\frac{2}{3} + \frac{9}{3} < x < \frac{6}{5} + \frac{15}{5}$

$\frac{11}{3} < x < \frac{21}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$

(2) $x \le \frac{1}{2}$

(3) $0 < x < 2$

(4) $\frac{11}{3} < x < \frac{21}{5}$