$(x^2 + x + 2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2 + x + 2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を利用します。$(x^2+x+2)^5$ の展開における一般項は、

$$\frac{5!}{p!q!r!} (x^2)^p x^q 2^r$$

で表されます。ここで、$p, q, r$ は非負整数で、

$$p + q + r = 5$$

$$2p + q = 4$$

を満たす必要があります。

$2p + q = 4$ を満たす非負整数 $p, q$ の組み合わせは以下の通りです。

* $p = 0, q = 4$

* $p = 1, q = 2$

* $p = 2, q = 0$

それぞれのケースについて、$r$ を求め、対応する項の係数を計算します。

* $p = 0, q = 4$ のとき、$r = 5 - (0 + 4) = 1$。

この項の係数は、$\frac{5!}{0!4!1!} (x^2)^0 x^4 2^1 = \frac{5!}{4!1!} \cdot 1 \cdot x^4 \cdot 2 = 5 \cdot 2 x^4 = 10x^4$。係数は10。

* $p = 1, q = 2$ のとき、$r = 5 - (1 + 2) = 2$。

この項の係数は、$\frac{5!}{1!2!2!} (x^2)^1 x^2 2^2 = \frac{5!}{1!2!2!} \cdot x^2 \cdot x^2 \cdot 4 = \frac{120}{4} \cdot 4 x^4 = 30 \cdot 4 x^4 = 120x^4$。係数は120。

* $p = 2, q = 0$ のとき、$r = 5 - (2 + 0) = 3$。

この項の係数は、$\frac{5!}{2!0!3!} (x^2)^2 x^0 2^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot x^4 \cdot 1 \cdot 8 = \frac{120}{12} \cdot 8 x^4 = 10 \cdot 8 x^4 = 80x^4$。係数は80。

したがって、$x^4$ の項の係数は、これらの係数の合計となります。

$10 + 120 + 80 = 210$

3. 最終的な答え

210