4次式 $x^4 - x^2 - 6$ を、(1)有理数、(2)実数、(3)複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

1. 問題の内容

4次式 $x^4 - x^2 - 6$ を、(1)有理数、(2)実数、(3)複素数の範囲でそれぞれ因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = X$ とおくと、与式は $X^2 - X - 6$ となる。

これを因数分解すると、

$X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$

$X = x^2$ を代入すると、

$(x^2 - 3)(x^2 + 2)$

(1) 有理数の範囲での因数分解

$x^2 - 3$ も $x^2 + 2$ も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

よって、$(x^2 - 3)(x^2 + 2)$ が答えとなる。

(2) 実数の範囲での因数分解

$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

$x^2 + 2$ は実数の範囲では因数分解できない。

よって、$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 2)$ が答えとなる。

(3) 複素数の範囲での因数分解

$x^2 + 2 = (x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$

よって、$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$ が答えとなる。

3. 最終的な答え

(1) 有理数の範囲：$(x^2 - 3)(x^2 + 2)$

(2) 実数の範囲：$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 2)$

(3) 複素数の範囲：$(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{2}i)(x + \sqrt{2}i)$