与えられた2次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数について、頂点の座標、軸の方程式、グラフが上に凸か下に凸かを求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2$

- 軸: $x = 0$

- 頂点: $(0, 0)$

- 凸: 下に凸

(2) $y = -2x^2 + 5$

- 軸: $x = 0$

- 頂点: $(0, 5)$

- 凸: 上に凸

(3) $y = (x+2)^2$

- 軸: $x = -2$

- 頂点: $(-2, 0)$

- 凸: 下に凸

(4) $y = 2(x-1)^2 + 3$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(5) $y = x^2 - 2x + 3$

- 平方完成: $y = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 2)$

- 凸: 下に凸

(6) $y = 2x^2 - 4x + 5$

- 平方完成: $y = 2(x^2 - 2x) + 5 = 2((x - 1)^2 - 1) + 5 = 2(x - 1)^2 - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$

- 軸: $x = 1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(7) $y = -x^2 + x + 5$

- 平方完成: $y = -(x^2 - x) + 5 = -( (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} ) + 5 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 5 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{21}{4}$

- 軸: $x = \frac{1}{2}$

- 頂点: $(\frac{1}{2}, \frac{21}{4})$

- 凸: 上に凸

(8) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

- 平方完成: $y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x) + 3 = -\frac{1}{2}((x + 2)^2 - 4) + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 2 + 3 = -\frac{1}{2}(x + 2)^2 + 5$

- 軸: $x = -2$

- 頂点: $(-2, 5)$

- 凸: 上に凸

3. 最終的な答え

(1)

- 軸: $x=0$

- 頂点: $(0, 0)$

- 凸: 下に凸

(2)

- 軸: $x=0$

- 頂点: $(0, 5)$

- 凸: 上に凸

(3)

- 軸: $x=-2$

- 頂点: $(-2, 0)$

- 凸: 下に凸

(4)

- 軸: $x=1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(5)

- 軸: $x=1$

- 頂点: $(1, 2)$

- 凸: 下に凸

(6)

- 軸: $x=1$

- 頂点: $(1, 3)$

- 凸: 下に凸

(7)

- 軸: $x=\frac{1}{2}$

- 頂点: $(\frac{1}{2}, \frac{21}{4})$

- 凸: 上に凸

(8)

- 軸: $x=-2$

- 頂点: $(-2, 5)$

- 凸: 上に凸