$(x^2 + x + 2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x^2 + x + 2)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を使って $(x^2 + x + 2)^5$ を展開します。

一般項は、

$$\frac{5!}{p!q!r!} (x^2)^p x^q 2^r$$

ここで、$p, q, r$ は非負の整数で、 $p+q+r = 5$ を満たします。

$x^4$ の項を求めるので、

$2p + q = 4$ を満たす必要があります。

$p, q, r$ は非負整数なので、$p$ が取りうる値は $0, 1, 2$ です。

それぞれの $p$ の値に対して、$q, r$ の値を求めます。

(1) $p = 0$ のとき

$q = 4$ となり、$r = 5 - p - q = 5 - 0 - 4 = 1$ です。

このときの項は、

$$\frac{5!}{0!4!1!} (x^2)^0 x^4 2^1 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(1)(4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)(1)} x^4 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot x^4 = 10 x^4$$

係数は $10$ です。

(2) $p = 1$ のとき

$q = 4 - 2p = 4 - 2(1) = 2$ となり、$r = 5 - p - q = 5 - 1 - 2 = 2$ です。

このときの項は、

$$\frac{5!}{1!2!2!} (x^2)^1 x^2 2^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(1)(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} x^4 \cdot 4 = \frac{120}{4} x^4 \cdot 4 = 30 \cdot 4 x^4 = 120 x^4$$

係数は $120$ です。

(3) $p = 2$ のとき

$q = 4 - 2p = 4 - 2(2) = 0$ となり、$r = 5 - p - q = 5 - 2 - 0 = 3$ です。

このときの項は、

$$\frac{5!}{2!0!3!} (x^2)^2 x^0 2^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} x^4 \cdot 8 = \frac{120}{12} x^4 \cdot 8 = 10 \cdot 8 x^4 = 80 x^4$$

係数は $80$ です。

したがって、$x^4$ の項の係数は、それぞれの係数を足し合わせたものになります。

$10 + 120 + 80 = 210$

3. 最終的な答え

210