与えられた複素数の式を計算します。式は $1 - 2\sqrt{2i^2} - \sqrt{2i} + 2i^2$ です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算します。式は $1 - 2\sqrt{2i^2} - \sqrt{2i} + 2i^2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$i^2 = -1$ を利用して式を簡略化します。

$1 - 2\sqrt{2i^2} - \sqrt{2i} + 2i^2 = 1 - 2\sqrt{2(-1)} - \sqrt{2i} + 2(-1)$

$= 1 - 2\sqrt{-2} - \sqrt{2i} - 2$

$= -1 - 2i\sqrt{2} - \sqrt{2i}$

$\sqrt{2i}$ を計算するために、$z = \sqrt{2i} = a + bi$ とおきます。ここで、$a$ と $b$ は実数です。

両辺を2乗すると、$z^2 = (a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = 2i$ となります。

実部と虚部を比較すると、

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = 2$

$a^2 = b^2$ より $a = b$ または $a = -b$ が成り立ちます。

$2ab = 2$ より $ab = 1$ であるため、$a$ と $b$ は同符号である必要があります。

したがって、$a = b$ が成り立ちます。

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$ です。

$ab = 1$ より、$a = 1$ のとき $b = 1$ であり、$a = -1$ のとき $b = -1$ です。

したがって、$\sqrt{2i} = 1 + i$ または $\sqrt{2i} = -1 - i$ です。

$\sqrt{2i}$ には2つの値がありますが、ここでは $1 + i$ を選びます。

すると、

$-1 - 2i\sqrt{2} - \sqrt{2i} = -1 - 2i\sqrt{2} - (1 + i)$

$= -1 - 2i\sqrt{2} - 1 - i$

$= -2 - (2\sqrt{2} + 1)i$

3. 最終的な答え

$-2 - (2\sqrt{2} + 1)i$