問題は、与えられた $a$ の値に基づいて、以下の2つの値を求めることです。 (1) $a + \frac{2}{a}$ の値を計算する。 (2) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を計算する。

1. 問題の内容

問題は、与えられた $a$ の値に基づいて、以下の2つの値を求めることです。

(1) $a + \frac{2}{a}$ の値を計算する。

(2) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $a + \frac{2}{a}$ の値を求める。

問題文中に $a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$ と $\frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$ が与えられています。したがって、$\frac{2}{a} = 2 \cdot \frac{1}{a} = 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$ となります。

よって、

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}+3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

(2) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求める。

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ は $(a + \frac{2}{a})^2$ を利用して求めることができます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

したがって、$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4$

(1) で $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ と求めたので、これを代入すると、

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 9 \cdot 2 - 4 = 18 - 4 = 14$

3. 最終的な答え

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$