問題は、以下の2つの式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。 (1) $(2x^2 + 3)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数 (2) $(2x - y - 5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の項の係数

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの式の展開式において、指定された項の係数を求める問題です。

(1) $(2x^2 + 3)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数

(2) $(2x - y - 5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の項の係数

2. 解き方の手順

(1) $(2x^2 + 3)^5$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求める。

二項定理より、$(2x^2 + 3)^5$ の一般項は、

$${}_5 C_r (2x^2)^r (3)^{5-r} = {}_5 C_r 2^r 3^{5-r} x^{2r}$$

$x^4$ の項を得るためには、$2r = 4$ となる必要があるので、$r = 2$。

したがって、$x^4$ の項の係数は、

$${}_5 C_2 2^2 3^{5-2} = \frac{5!}{2!3!} \times 4 \times 27 = 10 \times 4 \times 27 = 1080$$

(2) $(2x - y - 5z)^6$ の展開式における $x^2y^3z$ の項の係数を求める。

多項定理より、$(2x - y - 5z)^6$ の一般項は、

$$\frac{6!}{p!q!r!} (2x)^p (-y)^q (-5z)^r$$

ただし、$p + q + r = 6$。

$x^2y^3z$ の項を得るためには、$p = 2$, $q = 3$, $r = 1$ となる必要があるので、

$$\frac{6!}{2!3!1!} (2x)^2 (-y)^3 (-5z)^1 = \frac{6!}{2!3!1!} 2^2 (-1)^3 (-5)^1 x^2 y^3 z$$

係数は、

$$\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(1)} \times 4 \times (-1) \times (-5) = 60 \times 4 \times 5 = 1200$$

3. 最終的な答え

(1) 1080

(2) 1200