整式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x+1$ となる。このとき、整式 $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

整式 $x^3 + x^2 - 3x - 1$ を整式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $-3x+1$ となる。このとき、整式 $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

割り算の基本の関係式を利用します。割られる数 = 割る数 × 商 + 余り。

この問題では、割られる数が $x^3 + x^2 - 3x - 1$、割る数が $B$、商が $x-1$、余りが $-3x+1$ です。

したがって、以下の式が成り立ちます。

$$x^3 + x^2 - 3x - 1 = B(x-1) + (-3x + 1)$$

まず、$B(x-1)$ を求めるために、$-3x+1$ を左辺に移項します。

$$x^3 + x^2 - 3x - 1 - (-3x + 1) = B(x-1)$$

$$x^3 + x^2 - 3x - 1 + 3x - 1 = B(x-1)$$

$$x^3 + x^2 - 2 = B(x-1)$$

次に、$B$ を求めるために、両辺を $x-1$ で割ります。

$$B = \frac{x^3 + x^2 - 2}{x-1}$$

ここで、分子の多項式を因数分解します。$x=1$ を代入すると $1^3+1^2-2 = 0$ であるので、$x^3+x^2-2$は$x-1$を因数に持ちます。組み立て除法を行うと、

```

1 | 1 1 0 -2

| 1 2 2

|------------

1 2 2 0

```

したがって、$x^3 + x^2 - 2 = (x-1)(x^2+2x+2)$ となります。

$$B = \frac{(x-1)(x^2+2x+2)}{x-1}$$

$$B = x^2 + 2x + 2$$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 2x + 2$