初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^2 + 3n$で表される数列の一般項を求めます。

1. 問題の内容

初項から第$n$項までの和$S_n$が、$S_n = n^2 + 3n$で表される数列の一般項を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$n \ge 2$のとき、一般項$a_n$は、$S_n$と$S_{n-1}$を使って以下のように表すことができます。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$S_n = n^2 + 3n$なので、$S_{n-1}$は$n$を$n-1$に置き換えて、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 3(n-1)$

$= n^2 - 2n + 1 + 3n - 3$

$= n^2 + n - 2$

したがって、$a_n$は、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

$= (n^2 + 3n) - (n^2 + n - 2)$

$= n^2 + 3n - n^2 - n + 2$

$= 2n + 2$

次に、$n=1$のときを考えます。

$S_1$は初項$a_1$に等しいので、

$a_1 = S_1 = 1^2 + 3(1) = 1 + 3 = 4$

$a_n = 2n + 2$に$n=1$を代入すると、

$a_1 = 2(1) + 2 = 4$

これは$S_1$と一致するため、すべての$n$に対して$a_n = 2n + 2$が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n + 2$