2桁の自然数がある。その数は、十の位の数と一の位の数の和の3倍に5を加えた数に等しい。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、もとの数の2倍より7大きい。もとの自然数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の自然数がある。その数は、十の位の数と一の位の数の和の3倍に5を加えた数に等しい。また、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数は、もとの数の2倍より7大きい。もとの自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

もとの自然数の十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とおく。すると、もとの自然数は $10x + y$ と表せる。

問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

\begin{enumerate}

\item $10x + y = 3(x + y) + 5$

\item $10y + x = 2(10x + y) + 7$

\end{enumerate}

1つ目の式を整理する。

$10x + y = 3x + 3y + 5$

$7x - 2y = 5$

2つ目の式を整理する。

$10y + x = 20x + 2y + 7$

$-19x + 8y = 7$

連立方程式を解く。

\begin{cases}

7x - 2y = 5 \\

-19x + 8y = 7

\end{cases}

1つ目の式を4倍すると、

$28x - 8y = 20$

この式と2つ目の式を足し合わせると、

$(28x - 8y) + (-19x + 8y) = 20 + 7$

$9x = 27$

$x = 3$

$x = 3$ を $7x - 2y = 5$ に代入する。

$7(3) - 2y = 5$

$21 - 2y = 5$

$-2y = -16$

$y = 8$

よって、もとの自然数は $10x + y = 10(3) + 8 = 38$ である。

3. 最終的な答え

38