与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2y + 12xy^2 - 4xy$ (2) $x^2 + 5x + 4$ (3) $a^2 - 10a + 25$ (4) $2x^2 + 8x + 8$ (5) $(x-4)^2 - 3(x-4) - 40$ (6) $(4x-3)^2 - (x+2)^2$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2y + 12xy^2 - 4xy$

(2) $x^2 + 5x + 4$

(3) $a^2 - 10a + 25$

(4) $2x^2 + 8x + 8$

(5) $(x-4)^2 - 3(x-4) - 40$

(6) $(4x-3)^2 - (x+2)^2$

2. 解き方の手順

(1) 全ての項に共通する因子 $2xy$ で括り出す。

$6x^2y + 12xy^2 - 4xy = 2xy(3x + 6y - 2)$

(2) $x^2 + 5x + 4$ は $x^2 + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b)$ の形に変形できる。

$a+b = 5$ と $ab = 4$ を満たす $a$ と $b$ を探すと、$a=1$ と $b=4$ が見つかる。

したがって、$x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$

(3) $a^2 - 10a + 25$ は $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の形である。

$a^2 - 10a + 25 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a-5)^2$

(4) 全ての項に共通する因子 $2$ で括り出す。

$2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4)$

括弧の中は $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の形である。

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$

したがって、$2x^2 + 8x + 8 = 2(x+2)^2$

(5) $(x-4) = A$ と置換する。

$A^2 - 3A - 40$ は $A^2 + (a+b)A + ab = (A+a)(A+b)$ の形に変形できる。

$a+b = -3$ と $ab = -40$ を満たす $a$ と $b$ を探すと、$a=5$ と $b=-8$ が見つかる。

$A^2 - 3A - 40 = (A+5)(A-8)$

$A$ を元に戻すと $(x-4+5)(x-4-8) = (x+1)(x-12)$

したがって、$(x-4)^2 - 3(x-4) - 40 = (x+1)(x-12)$

(6) $(4x-3)^2 - (x+2)^2$ は $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の形である。

$a = 4x-3$, $b = x+2$ とすると

$(4x-3+x+2)(4x-3-(x+2)) = (5x-1)(4x-3-x-2) = (5x-1)(3x-5)$

したがって、$(4x-3)^2 - (x+2)^2 = (5x-1)(3x-5)$

3. 最終的な答え

(1) $2xy(3x+6y-2)$

(2) $(x+1)(x+4)$

(3) $(a-5)^2$

(4) $2(x+2)^2$

(5) $(x+1)(x-12)$

(6) $(5x-1)(3x-5)$