与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $2x + 5y - z = 3$ $3x + 4y + 2z = 1$ $x - y + 7z = 2$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$2x + 5y - z = 3$

$3x + 4y + 2z = 1$

$x - y + 7z = 2$

2. 解き方の手順

まず、連立一次方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

この行列を$AX = B$と表現します。ここで、

$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & 7 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B$を計算することで、$x, y, z$を求めます。

まず、$A$の逆行列$A^{-1}$を計算します。$A$の行列式$|A|$は

$|A| = 2(4\cdot7 - 2\cdot(-1)) - 5(3\cdot7 - 2\cdot1) + (-1)(3\cdot(-1) - 4\cdot1)$

$= 2(28+2) - 5(21-2) - (-3-4)$

$= 2(30) - 5(19) + 7$

$= 60 - 95 + 7 = -28$

次に、$A$の余因子行列を求めます。

$C_{11} = 4\cdot7 - 2\cdot(-1) = 28+2 = 30$

$C_{12} = -(3\cdot7 - 2\cdot1) = -(21-2) = -19$

$C_{13} = 3\cdot(-1) - 4\cdot1 = -3-4 = -7$

$C_{21} = -(5\cdot7 - (-1)\cdot(-1)) = -(35-1) = -34$

$C_{22} = 2\cdot7 - (-1)\cdot1 = 14+1 = 15$

$C_{23} = -(2\cdot(-1) - 5\cdot1) = -(-2-5) = 7$

$C_{31} = 5\cdot2 - (-1)\cdot4 = 10+4 = 14$

$C_{32} = -(2\cdot2 - (-1)\cdot3) = -(4+3) = -7$

$C_{33} = 2\cdot4 - 5\cdot3 = 8-15 = -7$

余因子行列$C$は、

$C = \begin{pmatrix} 30 & -19 & -7 \\ -34 & 15 & 7 \\ 14 & -7 & -7 \end{pmatrix}$

転置行列$C^T$は、

$C^T = \begin{pmatrix} 30 & -34 & 14 \\ -19 & 15 & -7 \\ -7 & 7 & -7 \end{pmatrix}$

逆行列$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \frac{1}{-28} \begin{pmatrix} 30 & -34 & 14 \\ -19 & 15 & -7 \\ -7 & 7 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15/14 & 17/14 & -1/2 \\ 19/28 & -15/28 & 1/4 \\ 1/4 & -1/4 & 1/4 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -15/14 & 17/14 & -1/2 \\ 19/28 & -15/28 & 1/4 \\ 1/4 & -1/4 & 1/4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -45/14 + 17/14 - 1 \\ 57/28 - 15/28 + 1/2 \\ 3/4 - 1/4 + 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28/14 -1 \\ 42/28 + 1/2 \\ 2/4+2/4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 -1 \\ 3/2+1/2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

したがって、$x=-3$, $y=2$, $z=1$

3. 最終的な答え

$x = -3$

$y = 2$

$z = 1$