行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) とする。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための $t$ の条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) とする。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための $t$ の条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$Ax = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式が解を持つための条件は、拡大行列 $\begin{bmatrix} t+1 & 1 & 1 \\ 1 & t+1 & 1 \end{bmatrix}$ のランクと行列 $A$ のランクが等しいことです。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$\det(A) = (t+1)(t+1) - 1 \cdot 1 = (t+1)^2 - 1 = t^2 + 2t + 1 - 1 = t^2 + 2t = t(t+2)$

(i) $t(t+2) \neq 0$ のとき、つまり、$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、行列 $A$ は正則なので解を持ちます。この時、解は一意に定まります。

連立方程式は

$(t+1)x_1 + x_2 = 1$

$x_1 + (t+1)x_2 = 1$

この連立方程式から、$x_1$ と $x_2$ を求めます。1番目の式から$x_2 = 1 - (t+1)x_1$が得られます。これを2番目の式に代入すると

$x_1 + (t+1)(1 - (t+1)x_1) = 1$

$x_1 + t + 1 - (t+1)^2 x_1 = 1$

$x_1 - (t^2+2t+1)x_1 = -t$

$-(t^2+2t)x_1 = -t$

$t(t+2)x_1 = t$

$x_1 = \frac{t}{t(t+2)} = \frac{1}{t+2}$

$x_2 = 1 - (t+1)x_1 = 1 - \frac{t+1}{t+2} = \frac{t+2 - (t+1)}{t+2} = \frac{1}{t+2}$

したがって、$x_1 = x_2 = \frac{1}{t+2}$

(ii) $t = 0$ のとき、行列 $A$ は $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ となり、方程式は

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 + x_2 = 1$

このとき、解は $x_1 + x_2 = 1$ を満たす任意の $x_1$ および $x_2$ となります。例えば、$x_1 = \alpha$ とすると、$x_2 = 1 - \alpha$ となります。

(iii) $t = -2$ のとき、行列 $A$ は $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ となり、方程式は

$-x_1 + x_2 = 1$

$x_1 - x_2 = 1$

これは $-x_1 + x_2 = 1$ と $x_1 - x_2 = 1$ から、$0=2$となるので、解を持ちません。

3. 最終的な答え

$t \neq -2$ のとき解を持ち、$t = -2$ のとき解を持たない。

(i) $t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

(ii) $t = 0$ のとき、$x = \begin{bmatrix} \alpha \\ 1-\alpha \end{bmatrix}$ ( $\alpha$は任意の実数)

(iii) $t = -2$ のとき、解なし。