与えられた3つの3次または4次方程式の解を求めます。 (1) $x^3 + 8 = 0$ (2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ (3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの3次または4次方程式の解を求めます。

(1) $x^3 + 8 = 0$

(2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$

(3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + 8 = 0$ について

$x^3 = -8$

$x^3 = (-2)^3$

$x = -2$ は実数解の一つ。

因数分解すると、

$(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$

$x+2=0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$

$x = -2$ または $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x^4 + 2x^2 - 8 = 0$ について

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 2y - 8 = 0$

$(y+4)(y-2) = 0$

$y = -4$ または $y = 2$

$x^2 = -4$ または $x^2 = 2$

$x = \pm 2i$ または $x = \pm \sqrt{2}$

(3) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = 0$ について

$P(x) = x^3 - 8x^2 + 17x - 10$ とおくと、$P(1) = 1 - 8 + 17 - 10 = 0$ より、$x=1$ は解の一つ。

$x-1$ で割り算すると、

$x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = (x-1)(x^2 - 7x + 10) = 0$

$(x-1)(x-2)(x-5) = 0$

$x = 1, 2, 5$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $x = \pm 2i, \pm \sqrt{2}$

(3) $x = 1, 2, 5$