行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) が与えられている。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための $t$ の条件、およびそのときの解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) が与えられている。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための $t$ の条件、およびそのときの解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を以下のように書きます。

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

この連立一次方程式を行列の形で書き直すと、

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

拡大係数行列を作ると、

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 & | & 1 \\ 1 & t+1 & | & 1 \end{bmatrix}$

この拡大係数行列を行基本変形します。まず、1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & | & 1 \\ t+1 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}$

次に、2行目から1行目の$(t+1)$倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & | & 1 \\ 0 & 1 - (t+1)^2 & | & 1 - (t+1) \end{bmatrix}$

ここで、$1-(t+1)^2 = 1 - (t^2 + 2t + 1) = -t^2 - 2t = -t(t+2)$

$1 - (t+1) = -t$

なので、

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & | & 1 \\ 0 & -t(t+2) & | & -t \end{bmatrix}$

連立一次方程式が解を持つためには、$-t(t+2) \neq 0$ または $-t=0$でなければなりません。

すなわち、$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、解が存在します。

もし、$t=0$ なら、

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix}$

となり、$x_1 + x_2 = 1$ を満たす任意の $x_1, x_2$ が解となります。

もし、$t=-2$ なら、

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 2 \end{bmatrix}$

となり、解は存在しません。

したがって、$t \neq -2$ が解をもつための条件です。

$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & | & 1 \\ 0 & -t(t+2) & | & -t \end{bmatrix}$

より、

$-t(t+2)x_2 = -t$

$x_2 = \frac{-t}{-t(t+2)} = \frac{1}{t+2}$

$x_1 + (t+1)x_2 = 1$

$x_1 = 1 - (t+1)x_2 = 1 - \frac{t+1}{t+2} = \frac{t+2 - (t+1)}{t+2} = \frac{1}{t+2}$

$t=0$ のとき、$x_1 + x_2 = 1$ なので、$x_2 = k$ とすると、$x_1 = 1-k$ であり、$x = \begin{bmatrix} 1-k \\ k \end{bmatrix}$ ($k$ は任意の実数) が解になります。

3. 最終的な答え

$t \neq -2$ が解をもつための条件です。

$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$t = 0$ のとき、$x = \begin{bmatrix} 1-k \\ k \end{bmatrix}$ ($k$ は任意の実数)