この問題は、等差数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$、等比数列 $\{c_n\}$ に関する問題です。 (1) 等差数列 $\{a_n\}$ の第3項が15、第11項が47のとき、初項と初項から第11項までの和を求めます。 (2) 等差数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $3n^2 - 7n$ であるとき、初項と公差を求めます。 (3) 初項が3、公比が $\frac{8}{3}$ の等比数列 $\{c_n\}$ に対して、$\frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} + \frac{1}{c_3} + \dots + \frac{1}{c_{10}}$ を計算します。

1. 問題の内容

この問題は、等差数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$、等比数列 $\{c_n\}$ に関する問題です。

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の第3項が15、第11項が47のとき、初項と初項から第11項までの和を求めます。

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $3n^2 - 7n$ であるとき、初項と公差を求めます。

(3) 初項が3、公比が $\frac{8}{3}$ の等比数列 $\{c_n\}$ に対して、$\frac{1}{c_1} + \frac{1}{c_2} + \frac{1}{c_3} + \dots + \frac{1}{c_{10}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について

初項を $a$、公差を $d$ とすると、

$a_3 = a + 2d = 15$

$a_{11} = a + 10d = 47$

この連立方程式を解きます。

$a + 10d - (a + 2d) = 47 - 15$

$8d = 32$

$d = 4$

$a + 2(4) = 15$

$a = 15 - 8 = 7$

よって、初項は7です。

初項から第11項までの和 $S_{11}$ は、

$S_{11} = \frac{11}{2} (a_1 + a_{11}) = \frac{11}{2} (7 + 47) = \frac{11}{2} (54) = 11 \cdot 27 = 297$

(2) 等差数列 $\{b_n\}$ について

初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると、$S_n = 3n^2 - 7n$ です。

初項 $b_1$ は $S_1$ に等しいので、

$b_1 = S_1 = 3(1)^2 - 7(1) = 3 - 7 = -4$

$S_2 = 3(2)^2 - 7(2) = 12 - 14 = -2$

$b_2 = S_2 - S_1 = -2 - (-4) = 2$

公差 $d$ は $b_2 - b_1 = 2 - (-4) = 6$

(3) 等比数列 $\{c_n\}$ について

初項 $c_1 = 3$、公比 $r = \frac{8}{3}$ です。

$\frac{1}{c_n} = \frac{1}{c_1 r^{n-1}} = \frac{1}{3 (\frac{8}{3})^{n-1}} = \frac{1}{3} (\frac{3}{8})^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{c_n} = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{3} (\frac{3}{8})^{n-1} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{10} (\frac{3}{8})^{n-1} = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{9} (\frac{3}{8})^k$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=0}^{9} (\frac{3}{8})^k = \frac{1 - (\frac{3}{8})^{10}}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{1 - (\frac{3}{8})^{10}}{\frac{5}{8}} = \frac{8}{5} (1 - (\frac{3}{8})^{10})$

$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{c_n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{5} (1 - (\frac{3}{8})^{10}) = \frac{8}{15} (1 - (\frac{3}{8})^{10})$

3. 最終的な答え

(1) 初項：7、和：297

(2) 初項：-4、公差：6

(3) $\frac{8}{15} (1 - (\frac{3}{8})^{10})$