数列 $\{a_n\}$ は初項1、公比5の等比数列である。和 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \geq 10^{100}$ を満たす最小の $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ は初項1、公比5の等比数列である。和 $a_1 + a_2 + \dots + a_n \geq 10^{100}$ を満たす最小の $n$ を求めよ。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$ とする。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を用いる。$a_n = 5^{n-1}$ であり、和 $S_n$ は

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S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n 5^{k-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}

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$S_n \geq 10^{100}$ となる最小の $n$ を求める。

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\frac{5^n - 1}{4} \geq 10^{100}

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$5^n - 1 \geq 4 \times 10^{100}$

$5^n \geq 4 \times 10^{100} + 1$

$4 \times 10^{100}$ は非常に大きいので、1を無視してよい。

$5^n \geq 4 \times 10^{100}$

両辺の常用対数をとる。

$\log_{10} 5^n \geq \log_{10} (4 \times 10^{100})$

$n \log_{10} 5 \geq \log_{10} 4 + \log_{10} 10^{100}$

$n \log_{10} 5 \geq \log_{10} 2^2 + 100$

$n \log_{10} 5 \geq 2 \log_{10} 2 + 100$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ である。

$\log_{10} 2 = 0.3010$ なので、$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$n (0.6990) \geq 2 (0.3010) + 100$

$0.6990 n \geq 0.6020 + 100$

$0.6990 n \geq 100.6020$

$n \geq \frac{100.6020}{0.6990} \approx 143.92$

よって、最小の $n$ は $n=144$ である。

3. 最終的な答え

144