2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。 (1)(i) $G$ が $x$ 軸と接するための必要十分条件、および $G$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求めます。 (ii) $G$ が $y$ 軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。 (2) $a=2$, $bc=1$, $0 < b < 1$ のとき、$G$ と $y$ 軸の交点を $A$、$G$ と $x$ 軸の交点を $B$, $C$ とするとき、三角形 $ABC$ の面積を $b$ を用いて表します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフ $G$ について、以下の問いに答える問題です。

(1)(i) $G$ が $x$ 軸と接するための必要十分条件、および $G$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求めます。

(ii) $G$ が $y$ 軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めます。

(2) $a=2$, $bc=1$, $0 < b < 1$ のとき、$G$ と $y$ 軸の交点を $A$、$G$ と $x$ 軸の交点を $B$, $C$ とするとき、三角形 $ABC$ の面積を $b$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)(i) $G$ が $x$ 軸と接するための必要十分条件は、$b=c$ である。したがって、答えは 2。$G$ が $x$ 軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$b \neq c$ である。したがって、答えは 4。

(ii) $G$ が $y$ 軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$y(0) > 0$ であること。

$y(0) = a(0-b)(0-c) = abc$ なので、$abc > 0$ となる。したがって、答えは 7。

(2)

$a=2, bc=1, 0 < b < 1$ のとき、関数は $y=2(x-b)(x-c)$ 。

$y=0$ となるのは、$x=b, x=c$ なので、$B(b, 0), C(c, 0)$。

$y$ 軸との交点 $A$ は、$x=0$ を代入して、$y = 2(-b)(-c) = 2bc = 2(1) = 2$。

したがって、$A(0, 2)$。

$BC$ の長さは、$|b-c| = |b - \frac{1}{b}| = |\frac{b^2-1}{b}| = \frac{1-b^2}{b}$ ($0<b<1$なので、$b^2 < 1$)。

三角形 $ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times |BC| \times |y_A| = \frac{1}{2} \times \frac{1-b^2}{b} \times 2 = \frac{1-b^2}{b}$

3. 最終的な答え

(1)(i) $b$ と $c$ の関係は $=$, $b$ と $c$ の関係は $\neq$。

(ii) $abc > 0$

(2) $\triangle ABC$ の面積は $\frac{1-b^2}{b}$