与えられた数の大小を不等号「<」を使って表す問題です。問題は(1)から(6)まであります。

1. 問題の内容

与えられた数の大小を不等号「<」を使って表す問題です。問題は(1)から(6)まであります。

2. 解き方の手順

各問題について、与えられた数を計算し、値を比較して小さい順に並べます。

(1)

$2^3 = 8$

$2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$

$2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \approx 1.414$

$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25$

したがって、$2^{-2} < 2^{-1} < 2^{\frac{1}{2}} < 2^3$

(2)

$3^2 = 9$

$3^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3^3}} = \frac{1}{\sqrt{27}} \approx \frac{1}{5.196} \approx 0.192$

$1 = 1$

$3^{-1} = \frac{1}{3} \approx 0.333$

したがって、$3^{-\frac{3}{2}} < 3^{-1} < 1 < 3^2$

(3)

$(\frac{9}{10})^3 = \frac{729}{1000} = 0.729$

$(\frac{9}{10})^{-3} = (\frac{10}{9})^3 = \frac{1000}{729} \approx 1.372$

$1 = 1$

$(\frac{9}{10})^2 = \frac{81}{100} = 0.81$

したがって、$(\frac{9}{10})^3 < (\frac{9}{10})^2 < 1 < (\frac{9}{10})^{-3}$

(4)

$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1}{125} = 0.008$

$\frac{1}{5} = 0.2$

$(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25} = 0.04$

$(\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5} \approx 2.236$

したがって、$(\frac{1}{5})^3 < (\frac{1}{5})^2 < \frac{1}{5} < (\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}$

(5)

$3=3$

$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx \frac{1}{1.732} \approx 0.577$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} \approx 1.442$

$\sqrt[4]{27} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}} \approx 2.279$

したがって、$\sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27} < 3$

(6)

$\sqrt{6} \approx 2.449$

$\sqrt[4]{216} = (6^3)^{\frac{1}{4}} = 6^{\frac{3}{4}} \approx 3.834$

$1=1$

$\sqrt[3]{36} = (6^2)^{\frac{1}{3}} = 6^{\frac{2}{3}} \approx 3.302$

したがって、$1 < \sqrt{6} < \sqrt[3]{36} < \sqrt[4]{216}$

3. 最終的な答え

(1) $2^{-2} < 2^{-1} < 2^{\frac{1}{2}} < 2^3$

(2) $3^{-\frac{3}{2}} < 3^{-1} < 1 < 3^2$

(3) $(\frac{9}{10})^3 < (\frac{9}{10})^2 < 1 < (\frac{9}{10})^{-3}$

(4) $(\frac{1}{5})^3 < (\frac{1}{5})^2 < \frac{1}{5} < (\frac{1}{5})^{-\frac{1}{2}}$

(5) $\sqrt{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27} < 3$

(6) $1 < \sqrt{6} < \sqrt[3]{36} < \sqrt[4]{216}$