与えられた行列 $A$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。 行列 $A$ は次のように与えられています。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が対角化可能かどうかを判定し、可能であれば対角化せよ。

行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

まず、行列 $A$ の固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。ここで、$I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -1 \\ 2 & 2-\lambda & 2 \\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 2) - 0 - (-1)(2 - 2(2-\lambda))$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) + (2\lambda - 2) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) + 2(\lambda - 1)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2 - 2) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda) = \lambda(1-\lambda)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 4$ です。

(2) 固有ベクトルを求める。

各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda_1 = 0$ のとき：

$(A - 0I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - z = 0 \implies x = z$

$2x + 2y + 2z = 0 \implies x + y + z = 0 \implies 2x + y = 0 \implies y = -2x$

したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda_2 = 1$ のとき：

$(A - 1I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-z = 0 \implies z = 0$

$2x + y + 2z = 0 \implies 2x + y = 0 \implies y = -2x$

したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda_3 = 4$ のとき：

$(A - 4I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -3 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x - z = 0 \implies z = -3x$

$2x - 2y + 2z = 0 \implies x - y + z = 0 \implies x - y - 3x = 0 \implies -2x - y = 0 \implies y = -2x$

したがって、$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -3 \end{pmatrix}$

(3) 対角化可能性の確認

3つの線形独立な固有ベクトル $v_1, v_2, v_3$ が存在するので、行列 $A$ は対角化可能です。

(4) 対角化

行列 $P$ を固有ベクトルを列ベクトルとする行列として構成します。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

このとき、$P^{-1}AP = D$ となる対角行列 $D$ が存在します。

$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ は対角化可能であり、対角化された行列は次のようになります。

$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

ただし、$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix}$ を用いて、$D=P^{-1}AP$が成立します。

実際、$v_1,v_2,v_3$のうち、$v_2$と$v_3$は一次独立ですが、$v_2=-v_3$となっているため$v_1,v_2,v_3$は一次独立ではありません.

$2x-2y+2z=0$より$x-y+z=0$であり、$2x+y-2z=0$なので

$3x-z=0$となり、$z=3x$. よって固有ベクトルは$(1,5,3)$

よって

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

最終的な答えは

対角化可能です。

$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & -2 & 5 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

を用いて、$D=P^{-1}AP$が成立。