3次式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが8、$ (x-1)^2$ で割ると余りが $x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求め、さらに $P(0)=0$ のとき、$P(x)$ を決定する。

1. 問題の内容

3次式 $P(x)$ があり、$P(x)$ を $x-2$ で割ると余りが8、$(x-1)^2$ で割ると余りが $x+10$ である。このとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求め、さらに $P(0)=0$ のとき、$P(x)$ を決定する。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割ったときの余りは2次以下の多項式なので、$ax^2+bx+c$ とおくことができる。

このとき、$P(x)$ はある多項式 $Q(x)$ を用いて

$P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)+ax^2+bx+c$

と表せる。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $x+10$ であることから、$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割った余りも $x+10$ になる。

したがって、$ax^2+bx+c = a(x-1)^2 + x+10 = a(x^2-2x+1)+x+10 = ax^2 + (-2a+1)x + a+10$ と書ける。

したがって、$P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)+a(x-1)^2+x+10$ と表せる。

また、$P(2)=8$ であるから、

$P(2) = a(2-1)^2 + 2+10 = a+12 = 8$

$a = -4$

よって、$P(x)=(x-2)(x-1)^2Q(x)-4(x-1)^2+x+10$

余りは $-4(x-1)^2+x+10 = -4(x^2-2x+1)+x+10 = -4x^2+8x-4+x+10 = -4x^2+9x+6$

$P(0)=0$ より、

$P(0) = (0-2)(0-1)^2Q(0) -4(0-1)^2+0+10 = -2Q(0) -4+10 = -2Q(0) +6 = 0$

$Q(0) = 3$

$Q(x)$ は定数であるから $Q(x) = 3$

$P(x) = 3(x-2)(x-1)^2 -4(x-1)^2+x+10 = 3(x-2)(x^2-2x+1) -4(x^2-2x+1)+x+10 = 3(x^3-2x^2+x-2x^2+4x-2) -4x^2+8x-4+x+10 = 3(x^3-4x^2+5x-2)-4x^2+9x+6 = 3x^3-12x^2+15x-6-4x^2+9x+6 = 3x^3-16x^2+24x$

3. 最終的な答え

$P(x)$ を $(x-2)(x-1)^2$ で割った余りは $-4x^2+9x+6$

$P(0)=0$ のとき $P(x) = 3x^3-16x^2+24x$