(1) 多項式 $x^{2017}$ を多項式 $x^2 + x$ で割ったときの余りを求めます。 (2) 多項式 $x^{2011}$ を多項式 $x^2 + 1$ で割ったときの余りを求めます。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^{2017}$ を多項式 $x^2 + x$ で割ったときの余りを求めます。

(2) 多項式 $x^{2011}$ を多項式 $x^2 + 1$ で割ったときの余りを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x^{2017}$ を $x^2 + x$ で割った余りを求めます。

$x^2 + x = x(x+1)$ なので、$x = 0$ と $x = -1$ を代入することを考えます。

余りは1次式以下なので、$ax + b$ とおけます。

$x^{2017} = (x^2 + x)Q(x) + ax + b$ となります。

$x=0$ を代入すると、$0^{2017} = 0 + 0 + b$ より、$b=0$ となります。

$x=-1$ を代入すると、$(-1)^{2017} = 0 + a(-1) + b$ より、$-1 = -a + 0$ となり、$a=1$ となります。

したがって、余りは $x$ です。

(2) $x^{2011}$ を $x^2 + 1$ で割った余りを求めます。

余りは1次式以下なので、$ax + b$ とおけます。

$x^{2011} = (x^2 + 1)Q(x) + ax + b$ となります。

$x^2+1 = 0$ となる $x = i$ （虚数単位）を考えます。

$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ です。

$x = i$ を代入すると、$i^{2011} = i^{4 \cdot 502 + 3} = (i^4)^{502} \cdot i^3 = 1^{502} \cdot i^3 = -i$

よって、$-i = ai + b$ となります。

$a = -1$, $b = 0$ となります。

したがって、余りは $-x$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x$

(2) $-x$