与えられた式 $64x^6 - y^6$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/7/1

1. 問題の内容

与えられた式 64x6y664x^6 - y^6 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、64x664x^6y6y^6 をそれぞれ平方の形と立方の形で表します。
64x6=(8x3)2=(4x2)364x^6 = (8x^3)^2 = (4x^2)^3
y6=(y3)2=(y2)3y^6 = (y^3)^2 = (y^2)^3
次に、平方の差の公式 a2b2=(a+b)(ab)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) を用いて因数分解します。
64x6y6=(8x3)2(y3)2=(8x3+y3)(8x3y3)64x^6 - y^6 = (8x^3)^2 - (y^3)^2 = (8x^3 + y^3)(8x^3 - y^3)
さらに、和と差の立方公式 a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) を用いて、それぞれの括弧内を因数分解します。
8x3+y3=(2x)3+y3=(2x+y)((2x)2(2x)y+y2)=(2x+y)(4x22xy+y2)8x^3 + y^3 = (2x)^3 + y^3 = (2x + y)((2x)^2 - (2x)y + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)
8x3y3=(2x)3y3=(2xy)((2x)2+(2x)y+y2)=(2xy)(4x2+2xy+y2)8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3 = (2x - y)((2x)^2 + (2x)y + y^2) = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)
したがって、64x6y664x^6 - y^6 は以下のように因数分解できます。
64x6y6=(2x+y)(4x22xy+y2)(2xy)(4x2+2xy+y2)64x^6 - y^6 = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)
順番を入れ替えて整理すると、
64x6y6=(2x+y)(2xy)(4x22xy+y2)(4x2+2xy+y2)64x^6 - y^6 = (2x+y)(2x-y)(4x^2 - 2xy + y^2)(4x^2 + 2xy + y^2)
さらに、(2x+y)(2xy)=4x2y2 (2x+y)(2x-y) = 4x^2-y^2 なので、
64x6y6=(4x2y2)(4x22xy+y2)(4x2+2xy+y2)64x^6 - y^6 = (4x^2 - y^2)(4x^2 - 2xy + y^2)(4x^2 + 2xy + y^2)

3. 最終的な答え

(2x+y)(2xy)(4x22xy+y2)(4x2+2xy+y2)(2x + y)(2x - y)(4x^2 - 2xy + y^2)(4x^2 + 2xy + y^2)
または
(4x2y2)(4x22xy+y2)(4x2+2xy+y2)(4x^2 - y^2)(4x^2 - 2xy + y^2)(4x^2 + 2xy + y^2)

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