次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出す。

$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$

次に、$2S$ を書き出す。

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n}$

$S-2S$ を計算する。

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (4-1) \cdot 2 + (7-4) \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2-(3n-5)) \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3(2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}) - (3n-2) \cdot 2^n$

等比数列の和の公式を用いる。

$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

$-S = 1 + 3(2^n - 2) - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = -5 + 3 \cdot 2^n - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = -5 + (3 - (3n-2)) \cdot 2^n$

$-S = -5 + (5 - 3n) \cdot 2^n$

$S = 5 + (3n-5) \cdot 2^n$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$