次の条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が $(2, 1)$ で、点 $(4, -7)$ を通る。 (2) $x = -1$ で最大値8をとり、$x = -3$ のとき $y = 0$ となる。 (3) 3点 $(-1, 3)$, $(1, 1)$, $(3, -5)$ を通る。

1. 問題の内容

次の条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が $(2, 1)$ で、点 $(4, -7)$ を通る。

(2) $x = -1$ で最大値8をとり、$x = -3$ のとき $y = 0$ となる。

(3) 3点 $(-1, 3)$, $(1, 1)$, $(3, -5)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(2, 1)$ なので、$y = a(x - 2)^2 + 1$ とおくことができる。点 $(4, -7)$ を通るので、これを代入して $a$ を求める。

$-7 = a(4 - 2)^2 + 1$

$-7 = 4a + 1$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、$y = -2(x - 2)^2 + 1 = -2(x^2 - 4x + 4) + 1 = -2x^2 + 8x - 8 + 1 = -2x^2 + 8x - 7$

(2) $x = -1$ で最大値8をとるので、$y = a(x + 1)^2 + 8$ とおくことができる。また、$x = -3$ のとき $y = 0$ なので、これを代入して $a$ を求める。

$0 = a(-3 + 1)^2 + 8$

$0 = 4a + 8$

$4a = -8$

$a = -2$

よって、$y = -2(x + 1)^2 + 8 = -2(x^2 + 2x + 1) + 8 = -2x^2 - 4x - 2 + 8 = -2x^2 - 4x + 6$

(3) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

3点 $(-1, 3)$, $(1, 1)$, $(3, -5)$ を通るので、それぞれ代入して連立方程式を立てる。

$a(-1)^2 + b(-1) + c = 3$ より $a - b + c = 3$

$a(1)^2 + b(1) + c = 1$ より $a + b + c = 1$

$a(3)^2 + b(3) + c = -5$ より $9a + 3b + c = -5$

3つの式を連立して解く。

$a - b + c = 3$

$a + b + c = 1$

$9a + 3b + c = -5$

(2式) - (1式) より $2b = -2$, $b = -1$

$a + (-1) + c = 1$ より $a + c = 2$

$9a + 3(-1) + c = -5$ より $9a + c = -2$

$9a + c = -2$

$a + c = 2$

(1式) - (2式) より $8a = -4$, $a = -\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2} + c = 2$ より $c = \frac{5}{2}$

よって、$y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 + 8x - 7$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 6$

(3) $y = -\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{5}{2}$