与えられた2つの式を計算します。 (1) $\frac{2}{1+a} + \frac{4}{1+a^2} + \frac{2}{1-a} + \frac{8}{1+a^4}$ (2) $\frac{ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(b-c)(c-a)} + \frac{bc}{(c-a)(a-b)}$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた2つの式を計算します。

(1) $\frac{2}{1+a} + \frac{4}{1+a^2} + \frac{2}{1-a} + \frac{8}{1+a^4}$

(2) $\frac{ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(b-c)(c-a)} + \frac{bc}{(c-a)(a-b)}$

2. 解き方の手順

(1) 式を整理するために、最初の2つの項と最後の2つの項をそれぞれまとめます。

$\frac{2}{1+a} + \frac{2}{1-a} = \frac{2(1-a) + 2(1+a)}{(1+a)(1-a)} = \frac{2-2a+2+2a}{1-a^2} = \frac{4}{1-a^2}$

$\frac{4}{1+a^2} + \frac{4}{1-a^2} = \frac{4(1-a^2) + 4(1+a^2)}{(1+a^2)(1-a^2)} = \frac{4-4a^2+4+4a^2}{1-a^4} = \frac{8}{1-a^4}$

したがって、

$\frac{8}{1-a^4} + \frac{8}{1+a^4} = \frac{8(1+a^4) + 8(1-a^4)}{(1-a^4)(1+a^4)} = \frac{8+8a^4+8-8a^4}{1-a^8} = \frac{16}{1-a^8}$

(2) 分母を $(a-b)(b-c)(c-a)$ で通分します。

$\frac{ca}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(b-c)(c-a)} + \frac{bc}{(c-a)(a-b)} = \frac{ca(c-a) + ab(a-b) + bc(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

分子を展開します。

$ca(c-a) + ab(a-b) + bc(b-c) = c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2$

分子を整理します。

$c^2a - ca^2 + a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 = - (a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、

$\frac{-(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{16}{1-a^8}$

(2) -1