与えられた6つの二次関数について、最大値または最小値を求めます。 (1) $y = x^2 + 5$ (2) $y = -3x^2 - 2$ (3) $y = 3(x+2)^2 + 1$ (4) $y = x^2 - 2x + 3$ (5) $y = -2x^2 - 4x + 5$ (6) $y = -x^2 + 5x + 1$

はい、承知いたしました。以下の問題について、最大値、最小値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次関数について、最大値または最小値を求めます。

(1) $y = x^2 + 5$

(2) $y = -3x^2 - 2$

(3) $y = 3(x+2)^2 + 1$

(4) $y = x^2 - 2x + 3$

(5) $y = -2x^2 - 4x + 5$

(6) $y = -x^2 + 5x + 1$

2. 解き方の手順

二次関数の最大値、最小値を求めるには、平方完成を行います。平方完成された式から、頂点の座標を読み取り、最大値または最小値を判断します。

(1) $y = x^2 + 5$ はすでに平方完成された形です。

$y = (x-0)^2 + 5$

頂点は $(0, 5)$ で、下に凸なグラフなので、最小値は $5$ (x=0の時)。最大値は存在しません。

(2) $y = -3x^2 - 2$ はすでに平方完成された形です。

$y = -3(x-0)^2 - 2$

頂点は $(0, -2)$ で、上に凸なグラフなので、最大値は $-2$ (x=0の時)。最小値は存在しません。

(3) $y = 3(x+2)^2 + 1$ はすでに平方完成された形です。

$y = 3(x-(-2))^2 + 1$

頂点は $(-2, 1)$ で、下に凸なグラフなので、最小値は $1$ (x=-2の時)。最大値は存在しません。

(4) $y = x^2 - 2x + 3$ を平方完成します。

$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 + 3$

$y = (x - 1)^2 + 2$

頂点は $(1, 2)$ で、下に凸なグラフなので、最小値は $2$ (x=1の時)。最大値は存在しません。

(5) $y = -2x^2 - 4x + 5$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 5$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 5$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 5$

$y = -2(x + 1)^2 + 7$

頂点は $(-1, 7)$ で、上に凸なグラフなので、最大値は $7$ (x=-1の時)。最小値は存在しません。

(6) $y = -x^2 + 5x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 5x) + 1$

$y = -(x^2 - 5x + (5/2)^2 - (5/2)^2) + 1$

$y = -(x - 5/2)^2 + (25/4) + 1$

$y = -(x - 5/2)^2 + (25/4) + (4/4)$

$y = -(x - 5/2)^2 + (29/4)$

頂点は $(5/2, 29/4)$ で、上に凸なグラフなので、最大値は $29/4$ (x=5/2の時)。最小値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: 5, 最大値: なし

(2) 最大値: -2, 最小値: なし

(3) 最小値: 1, 最大値: なし

(4) 最小値: 2, 最大値: なし

(5) 最大値: 7, 最小値: なし

(6) 最大値: 29/4, 最小値: なし