2次関数 $y = x^2 + mx + m + 3$ のグラフが x 軸に接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + mx + m + 3$ のグラフが x 軸に接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸に接するということは、2次方程式 $x^2 + mx + m + 3 = 0$ が重解を持つということである。

したがって、この2次方程式の判別式 $D$ が 0 になる。

判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ であり、この問題では $a=1, b=m, c=m+3$ である。

$D = m^2 - 4(1)(m+3)$

$D = m^2 - 4m - 12$

$D=0$ となる $m$ の値を求める。

$m^2 - 4m - 12 = 0$

$(m-6)(m+2) = 0$

よって、$m = 6, -2$

次に、接点の座標を求める。

$m = 6$ のとき、2次方程式は $x^2 + 6x + 9 = 0$ となる。

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$

よって、接点の座標は $(-3, 0)$

$m = -2$ のとき、2次方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$ となる。

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

よって、接点の座標は $(1, 0)$

3. 最終的な答え

$m = 6$ のとき、接点の座標は $(-3, 0)$

$m = -2$ のとき、接点の座標は $(1, 0)$