次の式を計算します。 $\sqrt{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$を簡単にします。根号の中を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a+b - 2\sqrt{ab}$の形にすることを考えます。

$a+b = 5$、 $ab = 6$となる$a, b$を考えると、$a = 3, b = 2$が見つかります。

よって、$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$となります。

次に、$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$を簡単にします。分母の有理化を行います。

$\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

したがって、

$\sqrt{5-2\sqrt{6}} - \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 0$

3. 最終的な答え

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