ある品物の売価が1個100円のとき、1日300個の売り上げがあります。売価を1個につき1円値上げすると、1日2個の割合で売り上げが減ります。1日の売り上げ金額を最大にするには、売価をいくらにするとよいかを求める問題です。ただし、消費税は考えないものとします。

1. 問題の内容

ある品物の売価が1個100円のとき、1日300個の売り上げがあります。売価を1個につき1円値上げすると、1日2個の割合で売り上げが減ります。1日の売り上げ金額を最大にするには、売価をいくらにするとよいかを求める問題です。ただし、消費税は考えないものとします。

2. 解き方の手順

まず、売価を$x$円値上げするとします。

このとき、

- 売価: $100 + x$ (円)

- 売り上げ個数: $300 - 2x$ (個)

となります。

1日の売り上げ金額を$y$円とすると、

$y = (100 + x)(300 - 2x)$

これを展開して整理します。

$y = 30000 - 200x + 300x - 2x^2$

$y = -2x^2 + 100x + 30000$

売り上げ金額$y$を最大にする$x$の値を求めるために、この2次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 50x) + 30000$

$y = -2(x^2 - 50x + 625 - 625) + 30000$

$y = -2((x - 25)^2 - 625) + 30000$

$y = -2(x - 25)^2 + 1250 + 30000$

$y = -2(x - 25)^2 + 31250$

この式から、$x = 25$ のとき、$y$が最大値 $31250$ をとることがわかります。

したがって、売り上げ金額を最大にする売価は、$100 + x = 100 + 25 = 125$ 円です。

3. 最終的な答え

125円