5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。 (1) 偶数は何個あるか。 (2) 3の倍数は何個あるか。

1. 問題の内容

5つの数字 $0, 1, 2, 3, 4$ を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字は2度以上使わないとする。

(1) 偶数は何個あるか。

(2) 3の倍数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 偶数の場合

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が偶数でなければならない。使える偶数は $0, 2, 4$ の3つである。

i) 一の位が0の場合：

百の位は0以外の4つの数字から選べる。十の位は百の位と一の位に使った数字以外の3つから選べる。

したがって、 $4 \times 3 = 12$ 個

ii) 一の位が2または4の場合：

一の位は2通り。百の位は0と一の位に使った数字以外の3つの数字から選べる。十の位は百の位と一の位に使った数字以外の3つの数字から選べる。

したがって、 $2 \times 3 \times 3 = 18$ 個

i)とii)を合わせて、$12 + 18 = 30$ 個

(2) 3の倍数の場合

3桁の整数が3の倍数であるためには、各位の数字の和が3の倍数でなければならない。使える数字は $0, 1, 2, 3, 4$ である。3つの数字の組み合わせで、和が3の倍数になるのは次の通り。

$\{0, 1, 2\}, \{0, 2, 4\}, \{1, 2, 3\}, \{2, 3, 4\}, \{0, 3\}, \{3, 0\}$

i) $\{0, 1, 2\}$ の場合：

百の位が0にならないように注意する。百の位は2通り、十の位は2通り、一の位は1通り。

$2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り

ii) $\{0, 2, 4\}$ の場合：

同様に、百の位が0にならないように注意する。百の位は2通り、十の位は2通り、一の位は1通り。

$2 \times 2 \times 1 = 4$ 通り

iii) $\{1, 2, 3\}$ の場合：

百の位は3通り、十の位は2通り、一の位は1通り。

$3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り

iv) $\{2, 3, 4\}$ の場合：

百の位は3通り、十の位は2通り、一の位は1通り。

$3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り

i) から iv) を合わせて、$4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個

3. 最終的な答え

(1) 偶数は 30 個

(2) 3の倍数は 20 個