自然数 $m, n$ に対して、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ とおく。$m \ge n$ および $S < \frac{1}{3}$ を満たしながら $m, n$ が変わるとき、$S$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に対して、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ とおく。$m \ge n$ および $S < \frac{1}{3}$ を満たしながら $m, n$ が変わるとき、$S$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < \frac{1}{3}$ という条件から、$S$ が最大になるためには、$n$ ができるだけ小さく、$m$ ができるだけ小さくする必要があることを考えます。$m \ge n$ という条件があるので、まず $n$ を小さい値から試していきます。

$n=1$ のとき、$S = \frac{1}{m} + 1 < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$ となり、$m$ は自然数なので、これは不適です。

$n=2$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{2} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$ となり、$m$ は自然数なので、これは不適です。

$n=3$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{3} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < 0$ となり、$m$ は自然数なので、これは不適です。

$n=4$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。よって、$m > 12$ なので、$m$ の最小値は $13$ です。このとき、$S = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} = \frac{4+13}{52} = \frac{17}{52}$。

$n=5$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{5} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$。よって、$m > \frac{15}{2} = 7.5$ なので、$m$ の最小値は $8$ です。このとき、$S = \frac{1}{8} + \frac{1}{5} = \frac{5+8}{40} = \frac{13}{40}$。

$n=6$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{6} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$。よって、$m > 6$ なので、$m$ の最小値は $7$ です。このとき、$S = \frac{1}{7} + \frac{1}{6} = \frac{6+7}{42} = \frac{13}{42}$。

ここで、$\frac{17}{52} \approx 0.327$, $\frac{13}{40} = 0.325$, $\frac{13}{42} \approx 0.309$ なので、候補は $\frac{17}{52}$ と $\frac{13}{40}$ です。

$\frac{17}{52} = \frac{17 \times 10}{52 \times 10} = \frac{170}{520}$

$\frac{13}{40} = \frac{13 \times 13}{40 \times 13} = \frac{169}{520}$

したがって、$\frac{17}{52} > \frac{13}{40}$。

$n=7$ のとき、$S = \frac{1}{m} + \frac{1}{7} < \frac{1}{3}$。このとき、$\frac{1}{m} < \frac{1}{3} - \frac{1}{7} = \frac{4}{21}$。よって、$m > \frac{21}{4} = 5.25$ なので、$m \ge n$ より、$m=7$のとき、$S=\frac{1}{7}+\frac{1}{7} = \frac{2}{7} = \frac{30}{105} < \frac{35}{105} = \frac{1}{3}$. $m=6$は$m \ge n$に反するので、$m=6$はだめ．$S=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}=\frac{13}{42}<\frac{1}{3}$なので、$m>5.25$なので、$m$の最小は6となる．このとき、$S=\frac{13}{42}<\frac{1}{3}$.

$n$を大きくすると、$m$も大きくなるので、$S$は小さくなることが予想できる．したがって、最大の候補は $\frac{17}{52}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{17}{52}$