大人3人、子供5人の中から4人を選ぶ問題です。 (1) 大人が2人、子供が2人選ばれる選び方は何通りか。 (2) 大人が少なくとも1人含まれる選び方は何通りか。

1. 問題の内容

大人3人、子供5人の中から4人を選ぶ問題です。

(1) 大人が2人、子供が2人選ばれる選び方は何通りか。

(2) 大人が少なくとも1人含まれる選び方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) 大人が2人、子供が2人選ばれる選び方

まず、大人3人の中から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_3C_2$で表されます。

次に、子供5人の中から2人を選ぶ組み合わせを計算します。これは$_5C_2$で表されます。

それぞれの組み合わせの数を掛け合わせると、条件を満たす選び方の総数が求まります。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

求める総数は $3 \times 10 = 30$通りです。

(2) 大人が少なくとも1人含まれる選び方

まず、すべての選び方の総数を計算します。これは大人3人と子供5人、合計8人の中から4人を選ぶ組み合わせ$_8C_4$で表されます。

次に、大人を1人も含まない選び方の総数を計算します。これは子供5人の中から4人を選ぶ組み合わせ$_5C_4$で表されます。

すべての選び方の総数から、大人を1人も含まない選び方の総数を引くと、大人が少なくとも1人含まれる選び方の総数が求まります。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5$

求める総数は $70 - 5 = 65$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り