ある国の人の血液型がAB型である確率は1/10である。その国から $n$ 人を無作為に抽出するとき、$k$ 番目に抽出された人がAB型なら1、それ以外の血液型なら0の値を対応させる確率変数を $X_k$ とする。標本平均 $\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

1. 問題の内容

ある国の人の血液型がAB型である確率は1/10である。その国から $n$ 人を無作為に抽出するとき、$k$ 番目に抽出された人がAB型なら1、それ以外の血液型なら0の値を対応させる確率変数を $X_k$ とする。標本平均 $\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ の期待値と標準偏差を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X_k$ の期待値と分散を求める。

$X_k$ はベルヌーイ分布に従う確率変数であり、AB型の確率が1/10なので、

$E[X_k] = 1 \times \frac{1}{10} + 0 \times \frac{9}{10} = \frac{1}{10}$

$V[X_k] = E[X_k^2] - (E[X_k])^2 = \frac{1}{10} - (\frac{1}{10})^2 = \frac{1}{10} - \frac{1}{100} = \frac{9}{100}$

次に、$\overline{X}$ の期待値を求める。

$E[\overline{X}] = E[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n} E[X_1 + X_2 + ... + X_n] = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} E[X_k] = \frac{1}{n} \times n \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$

次に、$\overline{X}$ の分散を求める。

$V[\overline{X}] = V[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n^2} V[X_1 + X_2 + ... + X_n]$

$X_1, X_2, ..., X_n$ は独立なので、

$V[X_1 + X_2 + ... + X_n] = \sum_{k=1}^{n} V[X_k] = n \times \frac{9}{100}$

よって、$V[\overline{X}] = \frac{1}{n^2} \times n \times \frac{9}{100} = \frac{9}{100n}$

最後に、$\overline{X}$ の標準偏差を求める。

$\sigma[\overline{X}] = \sqrt{V[\overline{X}]} = \sqrt{\frac{9}{100n}} = \frac{3}{10\sqrt{n}}$

3. 最終的な答え

標本平均 $\overline{X}$ の期待値は $\frac{1}{10}$

標本平均 $\overline{X}$ の標準偏差は $\frac{3}{10\sqrt{n}}$