男子6人、女子2人がくじ引きで席を決めて円卓を囲んで座るとき、以下の確率を求めよ。 (1) 女子2人が隣り合う確率 (2) 女子2人が向かい合う確率

1. 問題の内容

男子6人、女子2人がくじ引きで席を決めて円卓を囲んで座るとき、以下の確率を求めよ。

(1) 女子2人が隣り合う確率

(2) 女子2人が向かい合う確率

2. 解き方の手順

(1) 女子2人が隣り合う確率

まず、8人が円卓に座る座り方は、 $(8-1)! = 7!$ 通りです。

女子2人をひとまとめにして考える。すると、7人（男子6人+女子2人組1組）が円卓に座る座り方は $(7-1)! = 6!$ 通り。

さらに、女子2人の座り方は2通りある（右隣にAさん、左隣にBさん、もしくはその逆）。

よって、女子2人が隣り合う座り方は $6! \times 2$ 通り。

したがって、求める確率は、

$\frac{6! \times 2}{7!} = \frac{6! \times 2}{7 \times 6!} = \frac{2}{7}$

(2) 女子2人が向かい合う確率

まず、1人の女子の席を固定する。すると、もう1人の女子は、その女子の向かいの席に座る必要がある。

残りの6人の座席は自由に座ることができるため、並び方は $6!$ 通り。

一方、全体の座り方は $(8-1)! = 7!$ 通りである。

したがって、求める確率は、

$\frac{6!}{7!} = \frac{6!}{7 \times 6!} = \frac{1}{7}$

別の考え方：

1人の女子Aの席を固定する。

残りの7席のうち、Aの向かい側の席を選ぶ確率は $1/7$。

したがって、女子2人が向かい合う確率は $1/7$。

3. 最終的な答え

(1) 女子2人が隣り合う確率は $\frac{2}{7}$

(2) 女子2人が向かい合う確率は $\frac{1}{7}$