次の6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。 (1) $\int \log x \, dx$ (2) $\int xe^x \, dx$ (3) $\int (x-5)(x-3)^4 \, dx$ (4) $\int \frac{1}{x^2 - 49} \, dx$ (5) $\int \frac{4x+6}{x^2+3x+11} \, dx$ (6) $\int \sin^2 x \, dx$

1. 問題の内容

次の6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ とします。

(1) $\int \log x \, dx$

(2) $\int xe^x \, dx$

(3) $\int (x-5)(x-3)^4 \, dx$

(4) $\int \frac{1}{x^2 - 49} \, dx$

(5) $\int \frac{4x+6}{x^2+3x+11} \, dx$

(6) $\int \sin^2 x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log x \, dx$

部分積分法を用いる。$u = \log x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

(2) $\int xe^x \, dx$

部分積分法を用いる。$u = x, dv = e^x dx$ とすると、$du = dx, v = e^x$。

$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(3) $\int (x-5)(x-3)^4 \, dx$

$t = x-3$ と置換すると、$x = t+3$ であり、$x-5 = t+3-5 = t-2$。また、$dx = dt$。

$\int (x-5)(x-3)^4 \, dx = \int (t-2)t^4 \, dt = \int (t^5 - 2t^4) \, dt = \frac{t^6}{6} - \frac{2t^5}{5} + C = \frac{(x-3)^6}{6} - \frac{2(x-3)^5}{5} + C$

(4) $\int \frac{1}{x^2 - 49} \, dx$

部分分数分解を行う。$\frac{1}{x^2-49} = \frac{1}{(x-7)(x+7)} = \frac{A}{x-7} + \frac{B}{x+7}$ と置くと、

$1 = A(x+7) + B(x-7)$。$x=7$ のとき $1 = 14A$ より $A = \frac{1}{14}$。$x=-7$ のとき $1 = -14B$ より $B = -\frac{1}{14}$。

$\int \frac{1}{x^2 - 49} \, dx = \int \left( \frac{1/14}{x-7} - \frac{1/14}{x+7} \right) dx = \frac{1}{14} \int \left( \frac{1}{x-7} - \frac{1}{x+7} \right) dx = \frac{1}{14} (\log|x-7| - \log|x+7|) + C = \frac{1}{14} \log \left| \frac{x-7}{x+7} \right| + C$

(5) $\int \frac{4x+6}{x^2+3x+11} \, dx$

分母の微分が分子に現れるように変形する。$(x^2+3x+11)' = 2x+3$。

$\int \frac{4x+6}{x^2+3x+11} \, dx = 2 \int \frac{2x+3}{x^2+3x+11} \, dx = 2 \log |x^2+3x+11| + C$

(6) $\int \sin^2 x \, dx$

三角関数の公式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ を用いる。

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

3. 最終的な答え

(1) $x \log x - x + C$

(2) $(x-1)e^x + C$

(3) $\frac{(x-3)^6}{6} - \frac{2(x-3)^5}{5} + C$

(4) $\frac{1}{14} \log \left| \frac{x-7}{x+7} \right| + C$

(5) $2 \log |x^2+3x+11| + C$

(6) $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$