次の広義積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$ (2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ (3) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$ (4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$ (5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx$

はい、承知いたしました。広義積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の広義積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx$

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$

(3) $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$

(4) $\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$

(5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx$

2. 解き方の手順

(1)

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-0})) = \lim_{t \to \infty} (1 - e^{-t}) = 1 - 0 = 1$

(2)

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} \int_{a}^{b} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} [\arctan x]_{a}^{b} = \lim_{a \to -\infty, b \to \infty} (\arctan b - \arctan a) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

(3)

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx$

部分積分を用いて計算する。$u = x$, $dv = e^{-2x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$

$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} xe^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} -\frac{1}{2}e^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{-2x} dx = \lim_{t \to \infty} [-\frac{1}{2}xe^{-2x}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{0}^{t} = \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{2}te^{-2t} - 0) + \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}e^{-2t} - (-\frac{1}{2})) = \lim_{t \to \infty} (-\frac{t}{2e^{2t}}) + \lim_{t \to \infty} (-\frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{4}) = 0 + 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

（ロピタルの定理より、$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{2e^{2t}} = 0$）

(4)

$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx$

部分積分を2回行う。

$I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin x dx = \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} \sin x dx$

$u = \sin x, dv = e^{-x} dx \implies du = \cos x dx, v = -e^{-x}$

$I = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x} \sin x]_{0}^{t} + \int_{0}^{t} e^{-x} \cos x dx = 0 + \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} \cos x dx$

$u = \cos x, dv = e^{-x} dx \implies du = -\sin x dx, v = -e^{-x}$

$I = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x} \cos x]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} e^{-x} \sin x dx = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} \cos t - (-e^{-0} \cos 0)) - \lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{-x} \sin x dx = 1 - I$

$2I = 1 \implies I = \frac{1}{2}$

(5)

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} \int_{0}^{t} \tan x dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} \int_{0}^{t} \frac{\sin x}{\cos x} dx = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} [-\ln |\cos x|]_{0}^{t} = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} (-\ln |\cos t| - (-\ln |\cos 0|)) = \lim_{t \to \frac{\pi}{2} - 0} (-\ln |\cos t|) = \infty$

発散する。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\pi$

(3) $\frac{1}{4}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) 発散