与えられた関数の導関数を、導関数の定義式を用いて計算する問題です。 (1) $f(\theta) = \cos \theta$ の導関数を求める。ただし、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用し、和積の公式をうまく利用する。 (2) $f(x) = \log(1+x)$ の導関数を求める。ただし、$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ をうまく利用する。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を、導関数の定義式を用いて計算する問題です。

(1) $f(\theta) = \cos \theta$ の導関数を求める。ただし、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用し、和積の公式をうまく利用する。

(2) $f(x) = \log(1+x)$ の導関数を求める。ただし、$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ をうまく利用する。

2. 解き方の手順

(1) $f'(\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\theta+h) - f(\theta)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(\theta+h) - \cos \theta}{h}$ となる。

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いると、

$\cos(\theta+h) - \cos \theta = -2 \sin \frac{\theta+h+\theta}{2} \sin \frac{\theta+h-\theta}{2} = -2 \sin(\theta + \frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}$ となる。

したがって、

$f'(\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin(\theta + \frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2}}{h} = \lim_{h \to 0} - \sin(\theta + \frac{h}{2}) \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}$ となる。

$\lim_{h \to 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = 1$ より、

$f'(\theta) = -\sin \theta$ となる。

(2) $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+x+h) - \log(1+x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\log(\frac{1+x+h}{1+x})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\log(1+\frac{h}{1+x})}{h}$ となる。

ここで、$\frac{h}{1+x} = t$ とおくと、$h = (1+x)t$ であり、$h \to 0$ のとき $t \to 0$ となる。

したがって、$f'(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{(1+x)t} = \frac{1}{1+x} \lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ となる。

$\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$ より、$\lim_{t \to 0} \log((1+t)^{\frac{1}{t}}) = \log e = 1$ となる。

したがって、$\lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log(1+t) = 1$ より、$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ となる。

よって、$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $f'(\theta) = -\sin \theta$

(2) $f'(x) = \frac{1}{1+x}$