与えられた不定積分 $\int \frac{\sin^2 x \cos x}{\sin x + 2} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた不定積分

$\int \frac{\sin^2 x \cos x}{\sin x + 2} dx$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x$ と置換すると、$dt = \cos x dx$ となる。

したがって、積分は

$\int \frac{t^2}{t+2} dt$

となる。

被積分関数を割り算すると、

$\frac{t^2}{t+2} = t - 2 + \frac{4}{t+2}$

となる。

したがって、

$\int \frac{t^2}{t+2} dt = \int (t - 2 + \frac{4}{t+2}) dt = \frac{1}{2}t^2 - 2t + 4\ln|t+2| + C$

ここで、$t = \sin x$ を代入すると、

$\frac{1}{2}\sin^2 x - 2\sin x + 4\ln|\sin x + 2| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}\sin^2 x - 2\sin x + 4\ln|\sin x + 2| + C$