与えられた不等式 $- \sqrt{7} \le \frac{x}{2} + 1 \le \sqrt{7}$ を解き、関連する問題を解く。具体的には、以下の3つの小問に答える。 (i) 不等式①を解け。 (ii) $p \le 2\sqrt{7} < p+1$ を満たす整数 $p$ を求めよ。 (iii) 不等式①を満たす整数 $x$ は全部で何個あるか。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $- \sqrt{7} \le \frac{x}{2} + 1 \le \sqrt{7}$ を解き、関連する問題を解く。具体的には、以下の3つの小問に答える。

(i) 不等式①を解け。

(ii) $p \le 2\sqrt{7} < p+1$ を満たす整数 $p$ を求めよ。

(iii) 不等式①を満たす整数 $x$ は全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

(i) 不等式 $- \sqrt{7} \le \frac{x}{2} + 1 \le \sqrt{7}$ を解く。

まず、すべての項から1を引く。

$- \sqrt{7} - 1 \le \frac{x}{2} \le \sqrt{7} - 1$

次に、すべての項に2を掛ける。

$2(-\sqrt{7} - 1) \le x \le 2(\sqrt{7} - 1)$

$-2\sqrt{7} - 2 \le x \le 2\sqrt{7} - 2$

(ii) $p \le 2\sqrt{7} < p+1$ を満たす整数 $p$ を求める。

$\sqrt{7}$ は、$2 < \sqrt{7} < 3$ を満たす。より正確には、$2.6^2 = 6.76$ であり、$2.7^2 = 7.29$ であるため、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ である。

よって、$2 \sqrt{7}$ は、$2 \times 2.6 < 2 \sqrt{7} < 2 \times 2.7$、つまり、$5.2 < 2 \sqrt{7} < 5.4$ を満たす。

したがって、$p \le 2\sqrt{7} < p+1$ を満たす整数 $p$ は、$p=5$ である。

(iii) 不等式①を満たす整数 $x$ の個数を求める。

(i) より、$-2\sqrt{7} - 2 \le x \le 2\sqrt{7} - 2$ である。

(ii) より、$5 \le 2\sqrt{7} < 6$ であるから、$-6 < -2\sqrt{7} \le -5$。

したがって、$-2\sqrt{7} - 2$ は $-8 < -2\sqrt{7} - 2 \le -7$ を満たし、$2\sqrt{7} - 2$ は $3 \le 2\sqrt{7} - 2 < 4$ を満たす。

$x$ は整数なので、$x$ の範囲は $-7 \le x \le 3$ となる。

$-7$ から $3$ までの整数は、$-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$ の11個である。

3. 最終的な答え

(i) $-2\sqrt{7} - 2 \le x \le 2\sqrt{7} - 2$

(ii) $p = 5$

(iii) 11個