問題文は、有理数 $a, b$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられており、 (1) 条件「$p$ または $q$」の否定と同じ条件を見つける。 (2) 命題「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」の真偽と、その逆の真偽を判定し、$r$ が「$p$ または $q$」が成り立つための何であるかを判定する。 ここで、$p$: $a$ は整数、$q$: $a, b$ のうち少なくとも一方は整数、$r$: $a+b, ab$ はともに整数。

1. 問題の内容

問題文は、有理数 $a, b$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられており、

(1) 条件「$p$ または $q$」の否定と同じ条件を見つける。

(2) 命題「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」の真偽と、その逆の真偽を判定し、$r$ が「$p$ または $q$」が成り立つための何であるかを判定する。

ここで、$p$: $a$ は整数、$q$: $a, b$ のうち少なくとも一方は整数、$r$: $a+b, ab$ はともに整数。

2. 解き方の手順

(1) 「$p$ または $q$」の否定は、「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」である。

$\overline{p}$: $a$ は整数でない。

$\overline{q}$: $a, b$ はともに整数でない。

したがって、「$\overline{p}$ かつ $\overline{q}$」は「$a$ は整数でなく、かつ $a, b$ はともに整数でない」となる。

$a$ が整数でない有理数で、$b$ も整数でない有理数のとき、「$a$ は整数でなく、かつ $a, b$ はともに整数でない」が成立する。

選択肢の中で、条件「$a, b$ はともに整数でない」を表しているのは③。

(2) 命題「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」の真偽を考える。

$p$: $a$ は整数

$\overline{q}$: $a, b$ はともに整数でない

$r$: $a+b, ab$ はともに整数

$a=1$ (整数) のとき、$p$ は真。このとき $\overline{q}$ は真でも偽でも良い。

$a = 1$, $b=1$ とすると、$a+b = 2$, $ab = 1$ であり、$r$ は真。

$a=1$ (整数), $b = \sqrt{2}$ (整数でない有理数でない数)とすると、$a+b = 1+\sqrt{2}$ (整数でない), $ab = \sqrt{2}$ (整数でない) であり、$r$ は偽。

$p$ が真のとき、$r$ は真にも偽にもなりうる。

$\overline{q}$ が真、つまり $a, b$ がともに整数でない場合を考える。

例えば、$a = \frac{1}{2}$, $b = \frac{1}{2}$ のとき、$a+b = 1$, $ab = \frac{1}{4}$ となり、$r$ は偽。このとき、$p$ は偽なので、$p$ または $\overline{q}$ は真。

$p$ または $\overline{q}$ が真なのに、$r$ が偽になる場合が存在するので、「$p$ または $\overline{q} \Rightarrow r$」は偽。

次に、命題の逆「$r \Rightarrow p$ または $\overline{q}$」の真偽を考える。

$r$: $a+b, ab$ はともに整数

$p$: $a$ は整数

$\overline{q}$: $a, b$ はともに整数でない

$r$ が真のとき、$a+b, ab$ はともに整数である。

$a+b = s$, $ab = t$ ($s, t$ は整数) とおくと、$a, b$ は $x^2 - sx + t = 0$ の解である。

$a = \frac{s \pm \sqrt{s^2 - 4t}}{2}$, $b = \frac{s \mp \sqrt{s^2 - 4t}}{2}$。

もし $s^2 - 4t$ が整数の平方数であれば、$a, b$ はともに整数となる。このとき、$p$ は真、$q$ は真なので、「$p$ または $\overline{q}$」は真。

もし $s^2 - 4t$ が整数の平方数でなければ、$a, b$ はともに無理数となる。ただし、$a, b$ は有理数なので、$s^2-4t$は整数の平方数でなければならない。この場合は、$a,b$は整数になる。

$a,b$が共に整数ならば$a$は整数であるから、$p$または$\overline{q}$は常に真である。

したがって、「$r \Rightarrow p$ または $\overline{q}$」は真。

$r$ が「$p$ または $q$」が成り立つための何であるかを考える。

「$p$ または $q$」$\Rightarrow r$ は偽なので、$r$ は「$p$ または $q$」であるための十分条件ではない。

$r \Rightarrow$「$p$ または $q$」は真なので、$r$ は「$p$ または $q$」であるための必要条件である。

したがって、$r$ は「$p$ または $q$」であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

ア：③

イ：①

ウ：０

エ：０