8人を以下の条件でグループ分けする方法の数を求めます。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つのグループに、2人ずつ分ける。 (2) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける。

1. 問題の内容

8人を以下の条件でグループ分けする方法の数を求めます。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つのグループに、2人ずつ分ける。

(2) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, Dの4つのグループに2人ずつ分ける場合：

まず、Aグループに入れる2人を選ぶ方法は $_8 C_2$ 通りあります。

次に、残りの6人からBグループに入れる2人を選ぶ方法は $_6 C_2$ 通りあります。

さらに、残りの4人からCグループに入れる2人を選ぶ方法は $_4 C_2$ 通りあります。

最後に、残りの2人からDグループに入れる2人を選ぶ方法は $_2 C_2$ 通りあります。

したがって、分け方の総数は、

$_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$ 通りです。

(2) 2人ずつの4つのグループに分ける場合：

まず、8人から2人を選ぶ方法は $_8 C_2$ 通りあります。

次に、残りの6人から2人を選ぶ方法は $_6 C_2$ 通りあります。

さらに、残りの4人から2人を選ぶ方法は $_4 C_2$ 通りあります。

最後に、残りの2人から2人を選ぶ方法は $_2 C_2$ 通りあります。

これらのグループに区別がないので、グループの並び順を考慮する必要はありません。4つのグループの並び順を考慮すると、4!通りの並び順があります。

したがって、分け方の総数は、

$\frac{_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2}{4!} = \frac{28 \times 15 \times 6 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り