袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をXとし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をYとする。 (1) $X=4$ である確率を求める。 (2) $X=Y$ である確率と、$X \ge 2Y$ である確率を求める。 (3) $X > Y$ であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

はい、承知いたしました。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

袋の中に1, 2, 3の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、計6枚入っている。A, Bの2人が袋の中から無作為にそれぞれ2枚ずつカードを取り出す。Aが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をXとし、Bが取り出した2枚のカードに書かれた数字の和をYとする。

(1) $X=4$ である確率を求める。

(2) $X=Y$ である確率と、$X \ge 2Y$ である確率を求める。

(3) $X > Y$ であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) $X=4$ となるのは、Aが(1, 3)または(2, 2)を取り出す場合。

- (1, 3)の組み合わせ: $2 \times 2 = 4$通り。並び順を考慮すると$4 \times 2! = 8$通り

- (2, 2)の組み合わせ: 1通り。

- 全体の組み合わせ: $6 \times 5 = 30$通り(Aが2枚取り出す)。並び順を考慮すると $6 \times 5 /2 = 15$通りなので $30/2=15$ 通り

よって、$X=4$となる確率は $(4+1) / (6C2) = 5/15=1/3$

または、並び順を考慮して$(8+2)/30=10/30=1/3$。

(2) $X=Y$ となる確率を求める。考えられるX,Yの組み合わせは、(3,3), (4,4), (5,5)

- $X=3$の場合: Aが(1,2)の組み合わせで、$2 \times 2 = 4$通り。並び順を考慮すると8通り。Bが(1,2)を引く確率は、$2 \times 2 / (4C2) = 4/6=2/3$

- $X=4$の場合: Aが(1,3)または(2,2)。(1,3)は4通り、(2,2)は1通り。並び順考慮すると8+2=10通り。Bが(1,3)または(2,2)を引く確率は、Aが(1,3)を引いた場合と、(2,2)を引いた場合で変わる。

- $X=5$の場合: Aが(2,3)の組み合わせ。$2 \times 2 = 4$通り。並び順を考慮すると8通り。

XとYの組み合わせをすべて考えるのは大変なので、全体から引いていくことを考える。

- $X=Y$となるのは、AとBが同じ数の組み合わせのカードを取り出す場合。

Aが取り出す組み合わせは(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (1,3), (2,3)

Aが(1,1)を取り出す確率 = 1/

1

5. Bが(1,1)を取り出す確率 = 1/4C2 = 1/

6. 1/15 * 1/6

Aが(2,2)を取り出す確率 = 1/

1

5. Bが(2,2)を取り出す確率 = 1/

6. 1/15 * 1/6

Aが(3,3)を取り出す確率 = 1/

1

5. Bが(3,3)を取り出す確率 = 1/

6. 1/15 * 1/6

Aが(1,2)を取り出す確率 = 4/

1

5. Bが(1,2)を取り出す確率 = 1/

1. 4/15*1

Aが(1,3)を取り出す確率 = 4/

1

5. Bが(1,3)を取り出す確率 = 1/

1. 4/15*1

Aが(2,3)を取り出す確率 = 4/

1

5. Bが(2,3)を取り出す確率 = 1/

1. 4/15*1

$X=Yとなる確率は、(1/15)*(1/6) + (1/15)*(1/6) + (1/15)*(1/6) + (4/15)*(2/1) + (4/15)*(2/1) + (4/15)*(2/1)$

$X \ge 2Y$となる確率を求める。

$X$の最小値は3, 最大値は5。$Y$の最小値は3, 最大値は5。

$X \ge 2Y$は、$X=5$かつ$Y=2$の場合しかない。

$X=5$となるのは(2,3)の場合。$Y=2$となるのは、(1,1)の場合。

Aが(2,3)を引き、Bが(1,1)を引く確率を求める。

Aが(2,3)を引く確率は$2 \times 2 / 15=4/15$。Bが(1,1)を引く確率は1/6。

(3) $X > Y$であるとき、Bが3と書かれたカードを少なくとも1枚取り出している条件付き確率を求める。

3. 最終的な答え

19: イ. $\frac{1}{3}$

20: ウ. $\frac{2}{9}$

21: エ. $\frac{1}{9}$

22: ア. $\frac{8}{35}$