2つの変量 $x$, $y$ について、以下のデータが与えられています。 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $y$ & 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \\ \hline \end{tabular} このデータを用いて、$x$ と $y$ の共分散と相関係数を求めます。

1. 問題の内容

2つの変量 $x$, $y$ について、以下のデータが与えられています。

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}

\hline

$x$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\

\hline

$y$ & 3 & 4 & 1 & 2 & 5 \\

\hline

\end{tabular}

このデータを用いて、$x$ と $y$ の共分散と相関係数を求めます。

2. 解き方の手順

(10) 共分散を求める。

まず、$x$ と $y$ の平均 $\bar{x}$ と $\bar{y}$ を求めます。

$$\bar{x} = \frac{1+2+3+4+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

$$\bar{y} = \frac{3+4+1+2+5}{5} = \frac{15}{5} = 3$$

次に、$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を求めます。

$$s_{xy} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$$

$$s_{xy} = \frac{(1-3)(3-3) + (2-3)(4-3) + (3-3)(1-3) + (4-3)(2-3) + (5-3)(5-3)}{5}$$

$$s_{xy} = \frac{(-2)(0) + (-1)(1) + (0)(-2) + (1)(-1) + (2)(2)}{5}$$

$$s_{xy} = \frac{0 - 1 + 0 - 1 + 4}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$$

(11) 相関係数を求める。

$x$ の標準偏差 $s_x$ と $y$ の標準偏差 $s_y$ を求めます。

$$s_x^2 = \frac{(1-3)^2 + (2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2 + (5-3)^2}{5}$$

$$s_x^2 = \frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

$$s_x = \sqrt{2}$$

$$s_y^2 = \frac{(3-3)^2 + (4-3)^2 + (1-3)^2 + (2-3)^2 + (5-3)^2}{5}$$

$$s_y^2 = \frac{0 + 1 + 4 + 1 + 4}{5} = \frac{10}{5} = 2$$

$$s_y = \sqrt{2}$$

相関係数 $r$ は次のように求められます。

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{0.4}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{0.4}{2} = 0.2$$

3. 最終的な答え

(10) 共分散: 0.4

(11) 相関係数: 0.2