関数 $y = \arctan(3x - 2)$ の $x = 1$ に対応する点における接線と法線を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \arctan(3x - 2)$ の $x = 1$ に対応する点における接線と法線を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x = 1$ のときの $y$ の値を計算します。

$y(1) = \arctan(3 \cdot 1 - 2) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}$

したがって、接点（$x_0, y_0$）は $(1, \frac{\pi}{4})$ です。

次に、$y$ の導関数を計算します。$\arctan(x)$ の微分は $\frac{1}{1+x^2}$ です。

連鎖律を使用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \arctan(3x - 2) = \frac{1}{1 + (3x - 2)^2} \cdot \frac{d}{dx} (3x - 2) = \frac{1}{1 + (3x - 2)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1 + (3x - 2)^2}$

次に、$x = 1$ での導関数の値を計算します。これは接線の傾きです。

$\frac{dy}{dx} |_{x=1} = \frac{3}{1 + (3 \cdot 1 - 2)^2} = \frac{3}{1 + (1)^2} = \frac{3}{2}$

したがって、接線の傾きは $m = \frac{3}{2}$ です。

接線の式を求めます。点 $(x_0, y_0) = (1, \frac{\pi}{4})$ を通り、傾き $m = \frac{3}{2}$ の直線は

$y - y_0 = m (x - x_0)$

$y - \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2} (x - 1)$

$y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{4}$

法線の傾きは、接線の傾きの逆数の負数です。したがって、法線の傾きは $-\frac{1}{m} = -\frac{2}{3}$ です。

法線の式を求めます。点 $(x_0, y_0) = (1, \frac{\pi}{4})$ を通り、傾き $-\frac{2}{3}$ の直線は

$y - y_0 = -\frac{2}{3} (x - x_0)$

$y - \frac{\pi}{4} = -\frac{2}{3} (x - 1)$

$y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

接線の方程式: $y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{4}$

法線の方程式: $y = -\frac{2}{3}x + \frac{2}{3} + \frac{\pi}{4}$