2つの変数 $x$ と $y$ のデータが与えられており、$x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。データは以下の通りです。 | x | 10 | 7 | 8 | 9 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | y | 3 | 4 | 5 | 2 | 6 |

1. 問題の内容

2つの変数 $x$ と $y$ のデータが与えられており、$x$ と $y$ の相関係数を求める問題です。データは以下の通りです。

| x | 10 | 7 | 8 | 9 | 6 |

|---|---|---|---|---|---|

| y | 3 | 4 | 5 | 2 | 6 |

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、以下の式で求められます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy}$、$S_{xx}$、$S_{yy}$ はそれぞれ以下の通りです。

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - n\bar{x}\bar{y}$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{n} y_i^2 - n\bar{y}^2$

まず、$\bar{x}$ と $\bar{y}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{10 + 7 + 8 + 9 + 6}{5} = \frac{40}{5} = 8$

$\bar{y} = \frac{3 + 4 + 5 + 2 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4$

次に、$\sum x_i y_i$、$\sum x_i^2$、$\sum y_i^2$ を計算します。

$\sum x_i y_i = (10 \times 3) + (7 \times 4) + (8 \times 5) + (9 \times 2) + (6 \times 6) = 30 + 28 + 40 + 18 + 36 = 152$

$\sum x_i^2 = 10^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 6^2 = 100 + 49 + 64 + 81 + 36 = 330$

$\sum y_i^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2^2 + 6^2 = 9 + 16 + 25 + 4 + 36 = 90$

これらの値を使って、$S_{xy}$、$S_{xx}$、$S_{yy}$ を計算します。

$S_{xy} = 152 - (5 \times 8 \times 4) = 152 - 160 = -8$

$S_{xx} = 330 - (5 \times 8^2) = 330 - 320 = 10$

$S_{yy} = 90 - (5 \times 4^2) = 90 - 80 = 10$

最後に、相関係数 $r$ を計算します。

$r = \frac{-8}{\sqrt{10 \times 10}} = \frac{-8}{10} = -0.8$

3. 最終的な答え

-0.8