与えられた画像の確率と場合の数の問題を解きます。具体的には以下の6つの問題です。 (1) 4人の生徒を一列に並べる方法の総数 (2) 7人の生徒を4人、2人、1人の3組に分ける方法の総数 (3) 7人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選ぶ方法の総数 (4) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の数の和が5になる確率 (5) 6本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本引いて1本が当たり、もう1本が外れである確率 (6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本引いてすべて外れである確率

1. 問題の内容

与えられた画像の確率と場合の数の問題を解きます。具体的には以下の6つの問題です。

(1) 4人の生徒を一列に並べる方法の総数

(2) 7人の生徒を4人、2人、1人の3組に分ける方法の総数

(3) 7人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選ぶ方法の総数

(4) 大小2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の数の和が5になる確率

(5) 6本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本引いて1本が当たり、もう1本が外れである確率

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本引いてすべて外れである確率

2. 解き方の手順

(1) 4人の生徒を一列に並べる方法は、4の階乗で計算できます。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

(2) 7人の生徒を4人、2人、1人の3組に分ける方法は、組み合わせの考え方を使います。まず7人から4人を選び、次に残りの3人から2人を選び、最後に残りの1人を選びます。

$_7C_4 \times _3C_2 \times _1C_1 = \frac{7!}{4!3!} \times \frac{3!}{2!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times 3 \times 1 = 35 \times 3 = 105$

(3) 7人の生徒から委員長、副委員長、書記を選ぶ方法は、順列の考え方を使います。

$_7P_3 = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(4) 大小2個のサイコロを投げるとき、出た目の数の和が5になるのは、(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)の4通りです。サイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 = 36$通りなので、確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

(5) 6本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本引いて1本が当たり、もう1本が外れである確率は、

$\frac{_2C_1 \times _4C_1}{_6C_2} = \frac{2 \times 4}{\frac{6 \times 5}{2}} = \frac{8}{15}$

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本引いてすべて外れである確率は、

$\frac{_7C_3}{_{10}C_3} = \frac{\frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$

3. 最終的な答え

(1) 24 通り

(2) 105 通り

(3) 210 通り

(4) $\frac{1}{9}$

(5) $\frac{8}{15}$

(6) $\frac{7}{24}$